题目

题型：月考题难度：来源：

设函数设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数，g（x）=f（x）+f"（x）．
（1）求g（x）的单调区间和最小值；
（2）讨论g（x）与的大小关系；
（3）是否存在x₀＞0，使得对任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）由f（1）=0，导函数可知f（x）=lnx，x＞0，
∵g（x）=f（x）+f"（x），
∴．
求导函数可得，
所以当x∈（0，1）时，g"（x）＜0；x∈（1，+∞）时，g"（x）＞0，
故函数的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1），
极小值为g（1）=1
∵函数在定义域上仅有一个极小值，∴也为最小值，最小值为g（1）=1．
（2）设，则，
故函数在定义域内为减函数，
∵φ（1）=0，
∴当x∈（0，1）时，φ（x）＞0，即g（x）＞；
x∈（1，+∞）时，φ（x）＜0，即g（x）＜；
x=1时，g（x）=．
（3）假设存在满足题设的x₀，
则，
对任意x＞0成立，
从而有
∵lnx→+∞，
∴无解，故不存在．