题目

题型：期末题难度：来源：

已知f（x）=ax﹣1nx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+；
（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

答案

（Ⅰ）解：f（x）=x﹣lnx，f′（x）=  
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减
当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增   
∴f（x）的极小值为f（1）=1                   
（Ⅱ）证明：∵f（x）的极小值为1，即f（x）在（0，e]上的最小值为1，
∴f（x）＞0，f（x）_min=1
令h（x）=g（x）+ = + ， ，
当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增  
∴h（x）_max=h（e）= ＜ =1=|f（x）|_min     
∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+ ；
（Ⅲ）解：假设存在实数a，使f（x）的最小值是3，f′（x）= 
①当a≤0时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）_min=f（e）=ae﹣1=3，∴a= （舍去），
所以，此时f（x）无最小值．
②当0＜ ＜e时，f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，e]上单调递增，
f（x）_min=f（ ）=1+lna=3，∴a=e2，满足条件．
③当 时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，e]上单调递减，
f（x）_min=f（e）=ae﹣1=3，∴a= （舍去），
所以，此时f（x）无最小值．
综上，存在实数a=e²，使f（x）的最小值是3．