题目

题型：黑龙江省月考题难度：来源：

已知函数f（x）=ax³+x²+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f"（x）是奇函数．
（1）求f（x）的表达式；
（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．

答案

解：（1）由题意得f"（x）=3ax²+2x+b
因此g（x）=f（x）+f"（x）=ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b
因为函数g（x）是奇函数，所以g（﹣x）=﹣g（x），
即对任意实数x，
有a（﹣x）³+（3a+1）（﹣x）²+（b+2）（﹣x）+b=﹣[ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b]
从而3a+1=0，b=0， 解得，
因此f（x）的解析表达式为．
（2）由（1）知， 所以g"（x）=﹣x²+2，
令g"（x）=0 解得
则当时，g"（x）＜0
从而g（x）在区间，上是减函数，
当，
从而g（x）在区间上是增函数，
由前面讨论知，g（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在时取得，
而，
因此g（x）在区间[1，2]上的最大值为，最小值为．