题目
题型:湖南省月考题难度:来源:
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若g(x)在其定义域内为增函数,求正实数a的取值范围;
(Ⅲ)设函数h(x)=x2﹣mx+4,当a=2时,若x1∈(0,1),x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立,求实数m的取值范围.
答案
①当a≥0时,f′(x)>0,f(x)在(x,+∞)上单调递增;
②当a>0时,由f′(x)>0,得x>﹣a;由f′(x)<0,得x<﹣a;
故f(x)在(0,﹣a)上单调递减,在(﹣a,+∞)上单调递增.
(Ⅱ)g(x)=ax﹣ ,g(x)的定义域为(0,+∞),
﹣ = ,
因为g(x)在其定义域内为增函数,所以x∈(0,+∞),g′(x)≥0,
∴ax2﹣5x+a≥0, ∴a(x2+1)≥5x,即 ,
∴ .
∵ ,当且仅当x=1时取等号,所以a .
(Ⅲ)当a=2时,g(x)=2x﹣ , ,
由g′(x)=0,得x= 或x=2.
当 时,g′(x)≥0;
当x 时,g′(x)<0.
所以在(0,1)上, ,
而“x1∈(0,1),x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立”等价于 “g(x)在(0,1)上的最大值不小于h(x)在[1,2]上的最大值”
而h(x)在[1,2]上的最大值为max{h(1),h(2)},
所以有 ,
∴ ,
∴ ,
解得m≥8﹣5ln2,
所以实数m的取值范围是[8﹣5ln2,+∞).
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx﹣ ,g(x)=f(x)+ax﹣6lnx,其中a∈R.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若g(x)在其定义域内为增函数,求正实数a的取值】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)记,求函数y=g(x)的单调区间;
(3)在(2)的条件下,当k=2时,若函数y=g(x)的图象在直线y=x+m的下方,求m的取值范围.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)的图象与直线y=k有两个交点,求实数k的取值范围;
(3)设函数 ,若对任意的x∈[1,2],2f(x)≥g(x)+4x﹣2x2恒成立,求实数p的取值范围.
(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值;
(2)若函数f(x)在区间(﹣1,0)上是增函数,求a的取值范围;
(3)若函数g(x)=f(x)+f"(x),x∈0,2],在x=0处取得最大值,求正数a的取值范围.
(I)若f(x)在处取和极值,
①求a、b的值;
②存在,使得不等式f()-c≤0成立,求c的最小值;
(II)当b=a时,若f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求a的取值范围
(参考数据e2≈7.389,e3≈20.08)
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求证:对于区间[﹣1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤4;
(3)若过点A(1,m)(m≠﹣2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的范围.
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