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题目
题型:山东省月考题难度:来源:
已知函数f(x)=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求证:对于区间[﹣1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤4;
(3)若过点A(1,m)(m≠﹣2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的范围.
答案
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx﹣3,
依题意,f′(1)=f′(﹣1)=0,解得a=1,b=0.
∴f(x)=x3﹣3x
(2)∵f(x)=x3﹣3x,
∴f′(x)=3x2﹣3=3(x+1)(x﹣1),
当﹣1<x<1时,f′(x)<0,故f(x)在区间[﹣1,1]上为减函数,
fmax(x)=f(﹣1)=2,fmin(x)=f(1)=﹣2
∵对于区间[﹣1,1]上任意两个自变量的值x1,x2
都有|f(x1)﹣f(x2)|≤|fmax(x)﹣fmin(x)|
|f(x1)﹣f(x2)|≤|fmax(x)﹣fmin(x)|=2﹣(﹣2)=4
(3)f′(x)=3x2﹣3=3(x+1)(x﹣1),
∵曲线方程为y=x3﹣3x,
∴点A(1,m)不在曲线上.
设切点为M(x0,y0),切线的斜率为 (左边用导数求出,右边用斜率的两点式求出),整理得2x03﹣3x02+m+3=0.
∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线,故此方程有三个不同解,
下研究方程解有三个时参数所满足的条件
设g(x0)=2x03﹣3x02+m+3,则g′(x0)=6x02﹣6x0
由g′(x0)=0,得x0=0或x0=1.
∴g(x0)在(﹣∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.
∴函数g(x0)=2x03﹣3x02+m+3的极值点为x0=0,x0=1
∴关于x0方程2x03﹣3x02+m+3=0有三个实根的充要条件是 ,
解得﹣3<m<﹣2.
故所求的实数a的取值范围是﹣3<m<﹣2.
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值(1)求函数f(x)的解析式;(2)求证:对于区间[﹣1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)﹣g(x).
(1)若x=0是F(x)的极值点,求实数a的值;
(2)若x>0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(﹣x)的图象上方,求实数a的取值范围.
题型:山西省月考题难度:| 查看答案

设函数f(x)=(1+x)2﹣2ln(1+x).
(1)求f (x)的单调区间;
(2)若当时,不等式f (x)<m恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若关于x的方程f(x)=x2+x+a在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,求实数a的取值范围.


题型:四川省月考题难度:| 查看答案
已知函数
(1)求函数f(x)在(0,2)上的最小值;
(2)设g(x)=﹣x2+2mx﹣4,若对任意x1∈(0,2),x2[1,2],不等式f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数m的取值范围.
题型:云南省月考题难度:| 查看答案
已知函数满足f(0)=0,f′(1)=0,且
f(x)在R上单调递增.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f′(x)﹣m·x在区间[m,m+2]上的最小值为﹣5,求实数m的值.
题型:四川省期中题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3﹣ax2+bx+c的图象为曲线C.
(1)若曲线C上存在点P,使曲线C在P点处的切线与x轴平行,求a,b的关系;
(2)若函数f(x)可以在x=﹣1和x=3时取得极值,求此时a,b的值;
(3)在满足(2)的条件下,f(x)<2c在x∈[﹣2,6]恒成立,求c的取值范围.
题型:新疆维吾尔自治区期末题难度:| 查看答案
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