题目

题型：山东省月考题难度：来源：

已知函数f（x）=ax³+bx²﹣3x在x=±1处取得极值
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤4；
（3）若过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的范围．

答案

解：（1）f′（x）=3ax²+2bx﹣3，
依题意，f′（1）=f′（﹣1）=0，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³﹣3x
（2）∵f（x）=x³﹣3x，
∴f′（x）=3x²﹣3=3（x+1）（x﹣1），
当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）在区间[﹣1，1]上为减函数，
f_max（x）=f（﹣1）=2，f_min（x）=f（1）=﹣2
∵对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤|f_max（x）﹣f_min（x）|
|f（x₁）﹣f（x₂）|≤|f_max（x）﹣f_min（x）|=2﹣（﹣2）=4
（3）f′（x）=3x²﹣3=3（x+1）（x﹣1），
∵曲线方程为y=x³﹣3x，
∴点A（1，m）不在曲线上．
设切点为M（x₀，y₀），切线的斜率为 （左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），整理得2x₀³﹣3x₀²+m+3=0．
∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，
下研究方程解有三个时参数所满足的条件
设g（x₀）=2x₀³﹣3x₀²+m+3，则g′（x₀）=6x₀²﹣6x₀，
由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1．
∴g（x₀）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．
∴函数g（x₀）=2x₀³﹣3x₀²+m+3的极值点为x₀=0，x₀=1
∴关于x₀方程2x₀³﹣3x₀²+m+3=0有三个实根的充要条件是 ，
解得﹣3＜m＜﹣2．
故所求的实数a的取值范围是﹣3＜m＜﹣2．