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题目
题型:山西省月考题难度:来源:
设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)﹣g(x).
(1)若x=0是F(x)的极值点,求实数a的值;
(2)若x>0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(﹣x)的图象上方,求实数a的取值范围.
答案
解:(1)F(x)=ex+sinx﹣ax,求导函数可得F′(x)=ex+cosx﹣a.
因为x=0是F(x)的极值点,
所以F′(0)=1+1﹣a=0,
∴a=2.
当a=2时,若x<0,F′(x)=ex+cosx﹣a<0;
若x>0,F′(x)=ex+cosx﹣a>0;
∴x=0是F(x)的极小值点,
∴a=2符合题意;
(2)令h(x)=F(x)﹣F(﹣x)=ex﹣e﹣x+2sinx﹣2ax,
则h′(x)=ex+e﹣x+2cosx﹣2a,S(x)=h″(x)=ex﹣e﹣x﹣2sinx.
因为S′(x)=ex+e﹣x﹣2cosx≥0,
当x>0时恒成立,所以函数S(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴S(x)≥S(0)=0当x∈(0,+∞)时恒成立;
因此函数h′(x)在[0,+∞)上单调递增,
h′(x)≥h′(0)=4﹣2a,当x∈(0,+∞)时恒成立.
当a≤2时,h′(x)≥0,h(x)在(0,+∞)单调递增,即h(x)≥h(0)=0.
故a≤2时,F(x)>F(﹣x)恒成立.
当a>2时,h′(x)<0,
∵h′(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴总存在x0∈(0,+∞)使得在区间[0,x0)上h′(x)<0,
∴h(x)在区间[0,x0)上递减,而h(0)=0
∴当x∈(0,x0)时,h(x)<0,这与F(x)﹣F(﹣x)≥0对x∈[0,+∞)恒成立矛盾
∴a>2不合题意
综上a的取值范围是(﹣∞,2].
核心考点
试题【设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)﹣g(x).(1)若x=0是F(x)的极值点,求实数a的值;(2)若x>0时,函数y=F(x)】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三

设函数f(x)=(1+x)2﹣2ln(1+x).
(1)求f (x)的单调区间;
(2)若当时,不等式f (x)<m恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若关于x的方程f(x)=x2+x+a在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,求实数a的取值范围.


题型:四川省月考题难度:| 查看答案
已知函数
(1)求函数f(x)在(0,2)上的最小值;
(2)设g(x)=﹣x2+2mx﹣4,若对任意x1∈(0,2),x2[1,2],不等式f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数m的取值范围.
题型:云南省月考题难度:| 查看答案
已知函数满足f(0)=0,f′(1)=0,且
f(x)在R上单调递增.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f′(x)﹣m·x在区间[m,m+2]上的最小值为﹣5,求实数m的值.
题型:四川省期中题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3﹣ax2+bx+c的图象为曲线C.
(1)若曲线C上存在点P,使曲线C在P点处的切线与x轴平行,求a,b的关系;
(2)若函数f(x)可以在x=﹣1和x=3时取得极值,求此时a,b的值;
(3)在满足(2)的条件下,f(x)<2c在x∈[﹣2,6]恒成立,求c的取值范围.
题型:新疆维吾尔自治区期末题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=lnx﹣ax(a∈R).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上最小值.
题型:江苏省期末题难度:| 查看答案
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