题目

题型：山西省月考题难度：来源：

设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）﹣g（x）．
（1）若x=0是F（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若x＞0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（﹣x）的图象上方，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）F（x）=e^x+sinx﹣ax，求导函数可得F′（x）=e^x+cosx﹣a．
因为x=0是F（x）的极值点，
所以F′（0）=1+1﹣a=0，
∴a=2．
当a=2时，若x＜0，F′（x）=e^x+cosx﹣a＜0；
若x＞0，F′（x）=e^x+cosx﹣a＞0；
∴x=0是F（x）的极小值点，
∴a=2符合题意；
（2）令h（x）=F（x）﹣F（﹣x）=e^x﹣e^﹣x+2sinx﹣2ax，
则h′（x）=e^x+e^﹣x+2cosx﹣2a，S（x）=h″（x）=e^x﹣e^﹣x﹣2sinx．
因为S′（x）=e^x+e^﹣x﹣2cosx≥0，
当x＞0时恒成立，所以函数S（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴S（x）≥S（0）=0当x∈（0，+∞）时恒成立；
因此函数h′（x）在[0，+∞）上单调递增，
h′（x）≥h′（0）=4﹣2a，当x∈（0，+∞）时恒成立．
当a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在（0，+∞）单调递增，即h（x）≥h（0）=0．
故a≤2时，F（x）＞F（﹣x）恒成立．
当a＞2时，h′（x）＜0，
∵h′（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴总存在x₀∈（0，+∞）使得在区间[0，x₀）上h′（x）＜0，
∴h（x）在区间[0，x₀）上递减，而h（0）=0
∴当x∈（0，x₀）时，h（x）＜0，这与F（x）﹣F（﹣x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立矛盾
∴a＞2不合题意
综上a的取值范围是（﹣∞，2]．