已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上最小值． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：江苏省期末题难度：来源：

已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上最小值．

答案

解：（1）当a=2时，f（x）=lnx﹣ax，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
求导函数可得f"（x）=

﹣2①
由f"（x）＞0，x＞0，得0＜x＜

②
由f"（x）＜0，x＞0，得x＞

故函数f（x）的单调递增区间为（0，

），单调减区间是（

，+∞）．
（2）①当

≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2﹣2a
②当

2，即a≤

时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（1）=﹣a
③当1＜

2，即

时，函数f（x）在[1，

]上是增函数，在[

，2]上是减函数．
又f（2）﹣f（1）=ln2﹣a，
∴当

时，最小值是f（1）=﹣a；当ln2≤a＜1时，最小值为f（2）=ln2﹣2a
综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是﹣1；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是
ln2﹣2a．

核心考点

试题【已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上最小值．】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数

．
（1）求函数

的单调区间；
（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．

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已知函数f（x）=lnx﹣2kx，（k常数）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＜x³+lnx恒成立，求k的取值范围．

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某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站．记P到三个村庄的距离之和为y．
（1）设∠PBO=α，把y表示成α的函数关系式；
（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？

题型：湖南省月考题难度：| 查看答案

已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f₂（x）﹣f₁（x）≤k（x﹣a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．
（1）已知函数f（x）=2sinx，x∈[0，

]，试写出f₁（x），f₂（x）的表达式，并判断f（x）是否为[0，

]上的“k阶收缩函数”，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由；
（2）已知b＞0，函数g（x）=﹣x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．

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设二次函数f（x）=mx²+nx+t的图象过原点，g（x）=ax³+bx﹣3（x＞0），f（x），g（x）的导函数为f"（x），g"（x），且f"（0）=0，f"（﹣1）=﹣2，f（1）=g（1），f"（1）=g"（1）．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极小值；
（3）是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值；若不存在，说明理由．

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