题目

题型：四川省月考题难度：来源：

设函数f（x）=（1+x）²﹣2ln（1+x）．
（1）求f （x）的单调区间；
（2）若当时，不等式f （x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）函数的定义域为（﹣1，+∞）．
∵，
由f "（x）＞0，得x＞0；
由f "（x）＜0，得﹣1＜x＜0．
∴f（x）的递增区间是（0，+∞），递减区间是（﹣1，0）．
（2）∵由，得
x=0，x=﹣2（舍去）
由（1）知f（x）在上递减，在[0，e﹣1]上递增．
又，f（e﹣1）=e²﹣2，且．
∴当时，f（x）的最大值为e²﹣2．
故当m＞e²﹣2时，不等式f（x）＜m恒成立．
（3）方程f（x）=x²+x+a，x﹣a+1﹣2ln（1+x）=0．
记g（x）=x﹣a+1﹣2ln（1+x），
∵，
由g"（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1（舍去）．
由g"（x）＜0，得﹣1＜x＜1．
∴g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增．
为使方程f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实数根，
于是有
∵2﹣2ln2＜3﹣2ln3，
∴实数a的取值范围是2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．