题目
题型:不详难度:来源:
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(1)求函数f(x)在区间[1,e](e为自然对数的底)上的最大值和最小值;
(2)求证:在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=
2 |
3 |
(3)求证:[f′(x)]n-f′(xn)≥2n-2 (n∈N*).
答案
1 |
x |
当x∈[1,e]时,f′(x)>0,
∴函数f(x)在[1,e]上为增函数、
∴f(x)max=f(e)=
1 |
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1 |
2 |
(2)证明:令F(x)=f(x)-g(x)=
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3 |
则F′(x)=x+
1 |
x |
x2+1-2x3 |
x |
(1-x)(x+1+2x2) |
x |
∵当x>1,时F′(x)<0,
∴函数F(x)在区间(1,+∞)上为减函数,
∴F(x)<F(1)=
1 |
2 |
2 |
3 |
即在(1,+∞)上,f(x)<g(x)、
∴在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=
2 |
3 |
(3)证明:∵f′(x)=x+
1 |
x |
当n≥2时,利用基本不等式得:
[f′(x)]n-f′(xn)=(x+
1 |
x |
1 |
xn |
∴当n≥2时,不等式成立、
综上所述得[f′(x)]n-f′(xn)≥2n-2,(n∈N*)
核心考点
试题【已知函数f(x)=12x2+ln x-1.(1)求函数f(x)在区间[1,e](e为自然对数的底)上的最大值和最小值;(2)求证:在区间(1,+∞)上,函数f(】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称 | ||||
B.y=f(x)的图象关于x=
| ||||
C.f(x)的最大值为
| ||||
D.f(x)既是奇函数,又是周期函数 |
(1)函数f(x)=2x+x2是否关于1可线性分解?请说明理由;
(2)已知函数g(x)=lnx-ax+1(a>0)关于a可线性分解,求a的范围;
(3)在(2)的条件下,当a取最小整数时;
(i)求g(x)的单调区间;
(ii)证明不等式:(n!)2≤en(n-1)(n∈N*).
(1)若a=b=1,求f3(x)在[0,2]上的最大值和最小值;
(2)若对任意x1,x2∈[-1,1],都有|f3(x1)-f3(x2)|≤1,求a的取值范围;
(3)若|f4(x)|在[-1,1]上的最大值为
1 |
2 |
1nx |
x |
(Ⅰ)当a=1时,研究f(x)的单调性与极值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:f(x)>g(x)+
1 |
2 |
(Ⅲ)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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