为改善行人过马路难的问题，市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD（AB=60米，AD=104米）内修建一座过街天桥，天桥的高GM与HN均为43米，∠GEM=∠H - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

为改善行人过马路难的问题，市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD（AB=60米，AD=104米）内修建一座过街天桥，天桥的高GM与HN均为4

米，∠GEM=∠HFN=

，AE，EG，HF，FC的造价均为每米1万元，GH的造价为每米2万元，设MN与AB所成的角为α（α∈[0，

]），天桥的总造价（由AE，EG，GH，HF，FC五段构成，GM与HN忽略不计）为W万元．
（1）试用α表示GH的长；
（2）求W关于α的函数关系式；
（3）求W的最小值及相应的角α．

答案

（1）由题意可知∠MNP=α，故有MP=60tanα，所以在Rt△NMT中，GH=MN=

cosα

…（6分）
（2）W=(80+16

-60tanα)×1+

cosα

×2=80+16

-60

sinα

cosα

+120

cosα

=80+16

-60

sinα-2

cosα

．…（11分）
（3）设f(α)=

sinα-2

cosα

（其中0≤α≤

)，
则f′(α)=

cosαcosα-(-sinα)(sinα-2)

cos2α

1-2sinα

cos2α

．
令f"（α）=0得1-2sinα=0，即sinα=

，得α=

．
列表

核心考点

试题【为改善行人过马路难的问题，市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD（AB=60米，AD=104米）内修建一座过街天桥，天桥的高GM与HN均为43米，∠GEM=∠H】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

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热门考点

(0，

)

(

，

)

f"（α）

f（α）

单调递增

极大值

单调递减

函数y=3x-x³在（0，+∞）上（　　）

A．有最大值2

B．有最小值2

C．有最小值-2

D．有最大值-2

已知函数f（x）=lnx-

；
（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为

，求a的值；
（Ⅲ）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

已知函数f（x）=

x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R）．
（1）若x=1为f（x）的极值点，求a的值．
（2）若y=f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值．

已知函数f（x）=x³-3x²-9x+1
（1）求函数在区间[-4，4]上的单调性．
（2）求函数在区间[-4，4]上的极大值和极小值与最大值和最小值．

已知函数f(x)=xlnx，g(x)=

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）证明：对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．