题目

题型：不详难度：来源：

已知f（x）=2x³-5x，g（x）=x³+ax²+bx+c，x∈（0，+∞），设（1，f（1））是曲线y=f（x）与y=g（x）的一个公共点，且在此点处的切线相同．记g（x）的导函数为g"（x），对任意x∈（0，+∞）恒有g"（x）＞0．
（1）求a，b，c之间的关系（请用b表示a、c）；
（2）求b的取值范围；
（3）证明：当x∈（0，+∞）时，f（x）≥g（x）．

答案

（1）f"（x）=6x²-5，f（1）=-3，f"（1）=1，g"（x）=3x²+2ax+b，g（1）=1+a+b+c，g"（1）=3+2a+b．
由条件可得

a+b+c+4=0 2a+b+2=0

故a=-

b

2

-1，c=-3-

b

2

．
（2）∵当x∈（0，+∞）时，g"（x）=3x²+2ax+b＞0恒成立，
∴△=4a²-12b＜0，或

△≥0 - 2a 6 ≤0 g′(0)=b≥0

得b∈(4-2

3

，4+2

3

)．
（3）令F（x）=f（x）-g（x），则F（1）=0，F"（x）=3x²-2ax-b-5=3x²+（b+2）x-b-5=（3x+b+5）（x-1）．
∵x∈(0，+∞)，b∈(4-2

3

，4+2

3

)，
∴3x+b+5＞0．
当x∈（0，1）时，F"（x）＜0，F（x）＞F（1）=0；
当x∈（1，+∞）时，F"（x）＞0，F（x）＞F（1）=0．
综上，当x∈（0，+∞）时，F（x）≥0，即f（x）-g（x）≥0，即f（x）≥g（x）．