题目
题型:不详难度:来源:
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(Ⅰ)求切点坐标及m的值;
(Ⅱ)当m∈Z时,存在x∈[0,+∞)使f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.
答案
∵f"(x)=x2-2x+2,∴x02-2x0+2=5,解得x0=-1或x0=3,
当x0=-1时,y0=-1,∵P(-1,-1)在曲线C上,∴m=
7 |
3 |
当x0=3时,y0=19,∵P(3,19)在曲线C上,∴m=13,
∴切点P(-1,-1),m=
7 |
3 |
切点P(3,19),m=13.
(Ⅱ)解法一:∵m∈Z,∴m=13,
设h(x)=f(x)-g(x)=
1 |
3 |
若存在x∈[0,+∞)使f(x)≤g(x)成立,则只要h(x)min≤0,
h"(x)=x2-2(1+a)x=x[x-2(1+a)],
(ⅰ)若1+a≥0即a≥-1,令h"(x)>0,得x>2(1+a)或x<0,
∵x∈[0,+∞),∴h(x)在(2(1+a),+∞)上是增函数,
令h"(x)≤0,解得0≤x≤2(1+a),
∴h(x)在[0,2(1+a)]上是减函数,∴h(x)min=h(2(1+a)),
令h(2(1+a))≤0,解得a≥2,
(ⅱ)若1+a<0即a<-1,令h"(x)>0,解得x<2(1+a)或x>0,
∵x∈[0,+∞),∴h(x)在(0,+∞)上是增函数,∴h(x)min=h(0),
令h(0)≤0,不等式无解,∴a不存在,
综合(ⅰ)(ⅱ)得,实数a的取值范围为[2,+∞).
解法二:由f(x)≤g(x)得ax2≥
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3 |
(ⅰ)当x≠0时,a≥
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36 |
x2 |
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3 |
36 |
x2 |
若存在x∈[0,+∞)使f(x)≤g(x)成立,则只要h(x)min≤a,
h′(x)=
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3 |
72 |
x3 |
x3-63 |
3x3 |
令h"(x)≥0解得x≥6,∴h(x)在[6+∞)上是增函数,
令h"(x)<0,解得0<x<6,∴h(x)在(0,6)上是减函数,
∴h(x)min=h(6)=2,∴a≥2,
(ⅱ)当x=0时,不等式ax2≥
1 |
3 |
∴a不存在,
综合(ⅰ)(ⅱ)得,实数a的取值范围为[2,+∞).
核心考点
试题【设直线l:y=5x+4是曲线C:f(x)=13x3-x2+2x+m的一条切线,g(x)=ax2+2x-23.(Ⅰ)求切点坐标及m的值;(Ⅱ)当m∈Z时,存在x∈】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(I)若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1,求直线l的方程及m的值;
(Ⅱ)若h(x)=f(x+1)-g′(x)其中g′(x)是g(x)的导函数,求函数h(x)的最大值;
(Ⅲ)当0<a<b,求证:f(a+b)-f(2b)<
a-b |
2b |
A.y=6x-12 | B.y=12x-16 | C.y=8x-10 | D.y=2x-32 |
A.4x-y=0 | B.4x-y-4=0 |
C.2x-y-2=0 | D.4x-y=0或4x-y-4=0 |
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