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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x3-3ax-1在x=-1处取得极值.
(1)求a的值,并求f(x)在区间[-2,3]上的值域.
(2)若直线y=9x+m与y=f(x)的图象有三个不同的公共点,求m的取值范围.
答案
(1)f"(x)=3x2-3a,
∴f"(-1)=0⇒a=1,
f"(x)=3(x2-1)=3(x+1)(x-1)>0⇒x>1或x<-1;
f"(x)<0⇒-1<x<1.
在区间[-2,3]上的单调递增区间分别为[-2,-1]、[1,3];
递减区间为(-1,1)…(6分)
∴y极大值=f(-1)=1,y极小值=f(1)=-3,又f(-2)=-3,f(3)=17,
∴值域为[-3,17]…(8分)
(2)在函数f(x)的图象上与直线y=9x+m平行的切线共有两条,
当直线两切线之间时,该直线与函数f(x)的图象有三个不同的交点.
由f′(x)=3(x2-1)=9⇒x=±2,故切点坐标为(-2,-3),(2,1),
切线方程分别为:y+3=9(x+2),它们在y轴上的截距分别为15、-17,
∴m的取值范围为(-17,15);
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3-3ax-1在x=-1处取得极值.(1)求a的值,并求f(x)在区间[-2,3]上的值域.(2)若直线y=9x+m与y=f(x)的图象有三】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知f(x)=ax3-9x2+cx(a>0),其导函数的图象经过点(1,0),(2,0),则f(x)的极大值为______.
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已知函数f(x)=
x2-a(a+2)x
x+1
(a∈R).
(1)当a=1时,求f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;
(2)当a>-1时,解关于x的不等式f(x)>0;
(3)求函数f(x)在[0,2]上的最小值.
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直线y=-
1
4
x+b是函数f(x)=
1
x
的切线,则实数b=______.
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函数f(x)=x3-3x,过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,则此切线方程为______.
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已知函数f(x)=
a+lnx
x
(a∈R)

(Ⅰ)若a=4,求曲线f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)的极值;
(Ⅲ)若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有公共点,求实数a的取值范围.
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