题目
题型:不详难度:来源:
a+lnx |
x |
(Ⅰ)若a=4,求曲线f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)的极值;
(Ⅲ)若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有公共点,求实数a的取值范围.
答案
∴f(x)=
lnx+4 |
x |
5 |
e |
又∵f′(x)=
(lnx+4)′x-(lnx+4)x′ |
x2 |
-3-lnx |
x2 |
∴f′(e)=
-3-lne |
e2 |
4 |
e2 |
∴f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为:y-
5 |
e |
4 |
e2 |
即4x+e2y-9e=0.(4分)
(Ⅱ)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
1-(lnx+a) |
x2 |
令f"(x)=0得x=e1-a.
当x∈(0,e1-a)时,f"(x)>0,f(x)是增函数;
当x∈(e1-a,+∞)时,f"(x)<0,f(x)是减函数;(7分)
∴f(x)在x=e1-a处取得极大值,即f(x)极大值=f(e1-a)=ea-1.(8分)
(Ⅲ)(i)当e1-a<e2,即a>-1时,
由(Ⅱ)知f(x)在(0,e1-a)上是增函数,在(e1-a,e2]上是减函数,
∴当x=e1-a时,f(x)取得最大值,即f(x)max=ea-1.
又当x=e-a时,f(x)=0,当x∈(0,e-a]时,f(x)<0,
当x∈(e-a,e2]时,f(x)∈(0,ea-1],
所以,f(x)的图象与g(x)=1的图象在(0,e2]上有公共点,
等价于ea-1≥1,解得a≥1,
又因为a>-1,所以a≥1.(11分)
(ii)当e1-a≥e2,即a≤-1时,f(x)在(0,e2]上是增函数,
∴f(x)在(0,e2]上的最大值为f(e2)=
2+a |
e2 |
∴原问题等价于
2+a |
e2 |
又∵a≤-1∴无解
综上,a的取值范围是a≥1.(14分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=a+lnxx(a∈R).(Ⅰ)若a=4,求曲线f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)的极值;(Ⅲ)若函数f(x)的图象与函】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.
| B.
| C.-
| D.-
|
lim |
n→∞ |
(a+1)n+1 |
n+2 |
lim |
x→1 |
ax2-3x+2 |
x-a |
A.0 | B.-1 | C.3 | D.-6 |
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