设点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),T(x0,f(x0))在函数f(x)=x3-ax(a>0)的图象上,其中x1,x2是f(x)的两个极值点,x0(x0≠0)是f(x)的一个零点,若函数f(x)的图象在T处的切线与直线AB垂直,则a=______. |
令f(x)=0,(a>0),则x(x+)(x-)=0,解得x=0,±. ∵x0(x0≠0)是f(x)的一个零点,∴x0=-或x0=. ∵f′(x)=3x2-a=3(x+)(x-), 令f′(x)=0,解得x=±,列表如下: 由表格可知:当x=时,函数f(x)取得极小值,且f()=-; 当x=-时,函数f(x)取得极大值,且f(-)=; 不妨设A(-,),B(,-).∴KAB=. 根据表格作出如下图象: ①当x0=时.f′()=2a, ∵函数f(x)的图象在T处的切线与直线AB垂直, ∴-×2a=-1,(a>0),解得a=. ②当x0=-时.f′()=2a, ∵函数f(x)的图象在T处的切线与直线AB垂直, ∴-×2a=-1,(a>0),解得a=. 综上可知:满足条件的a的值为. 故答案为. |
核心考点
试题【设点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),T(x0,f(x0))在函数f(x)=x3-ax(a>0)的图象上,其中x1,x2是f(x)的两个极值点,x】;主要考察你对
函数极值与最值等知识点的理解。
[详细]
举一反三
设函数f(x)=x3+ax2-12x的导函数为f′(x),若f′(x)的图象关于y轴对称. (I)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数f(x)的极值. |
若曲线y=ex在x=1处的切线与直线2x+my+1=0垂直,则m=( ) |
设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a>0)其中,f(0)=3,f′(x)是f(x)的导函数. (Ⅰ)若f′(-1)=f′(3)=-36,f′(5)=0,求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)若c=-6,函数f(x)的两个极值点为x1,x2满足-1<x1<1<x2<2.设λ=a2+b2-6a+2b+10,试求实数λ的取值范围. |
函数f(x)的导函数图象如图所示,则函数f(x)的极小值点个数有( )
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已知函数f(x)=,x∈[0,2]. (1)求f(x)的值域; (2)设a≠0,函数g(x)=ax3-a2x,x∈[0,2].若对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[0,2],使f(x1)-g(x2)=0.求实数a的取值范围. |