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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
4x
3x2+3
,x∈[0,2]

(1)求f(x)的值域;
(2)设a≠0,函数g(x)=
1
3
ax3-a2x
,x∈[0,2].若对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[0,2],使f(x1)-g(x2)=0.求实数a的取值范围.
答案
(1)对函数f(x)求导,f′(x)=
4
3
1-x2
(x2+1)2

令f"(x)=0得x=1或x=-1.
当x∈(0,1)时,f"(x)>0,f(x)在(0,1)上单调递增;
当x∈(1,2)时,f"(x)<0,f(x)在(1,2)上单调递减.
f(0)=0,f(1)=
2
3
,f(2)=
8
15

所以当x∈[0,2],f(x)的值域是[0,
2
3
]

(2)设函数g(x)在[0,2]上的值域是A.
∵对任意x1∈[0,2],总存在x0∈[0,2],使f(x1)-g(x0)=0,
[0,
2
3
]⊆A

对函数g(x)求导,g"(x)=ax2-a2
①当a<0时,若x∈(0,2),g"(x)<0,所以函数g(x)在(0,2)上单调递减.
g(0)=0,g(2)=
8
3
a-2a2<0

∴当x∈[0,2]时,不满足[0,
2
3
]⊆A

②当a>0时,g′(x)=a(x-


a
)(x+


a
)

令g"(x)=0,得x=


a
x=-


a
(舍去).
(i)当x∈[0,2],0<


a
<2
时,列表:

g(0)=0,g(


a
)<0

又∵[0,
2
3
]⊆A
,∴g(2)=
8
3
a-2a2
2
3
,解得
1
3
≤a≤1

(ii)当x∈(0,2),


a
≥2
时,g"(x)<0,∴函数在(0,2)上单调递减,
∵g(0)=0,∴g(2)=
8
3
a-2a2<0
∴当x∈[0,2]时,不满足[0,
2
3
]⊆A

综上,实数a的取值范围是[
1
3
,1]
核心考点
试题【已知函数f(x)=4x3x2+3,x∈[0,2].(1)求f(x)的值域;(2)设a≠0,函数g(x)=13ax3-a2x,x∈[0,2].若对任意x1∈[0,】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=ax2-lnx,x∈(0,e],其中e是自然对数的底数,a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间与极值;
(Ⅱ)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x2+bx+c的图象与x轴相切于点(3,0),函数g(x)=-2x+6,则这两个函数图象围成的区域面积为(  )
A.
2
3
B.
4
3
C.2D.
8
3
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x2ex
(1)求f(x)的极值.
(2)求f(x)在区间[t,0]上的最大值和最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
设a∈R,若函数y=x3+ax,x∈R有大于零的极值点,则(  )
A.a>0B.a<0C.a≥0D.a≤0
题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=x3+x2,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程______.
题型:不详难度:| 查看答案
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