题目

题型：0108 模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x。
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求a的取值范围。
（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，试求实数m的值。

答案

解：（1）因为
所以切线的斜率
又
故所求切线方程为
即。
（2）因为
又x>0，所以当x>2时，；
当0＜x＜2时，
即在上递增
在（0，2）上递减
又
所以在上递增
在上递减
欲f（x）与在区间上均为增函数
则
解得。
（3）原方程等价于
令
则原方程即为
因为当时原方程有唯一解
所以函数与的图象在y轴右侧有唯一的交点
且x＞0
所以当x>4时，
当0＜x＜4时，
即在上递增
在（0，4）上递减
故h（x）在x=4处取得最小值
从而当时原方程有唯一解的充要条件是。