题目

题型：湖南省模拟题难度：来源：

已知f(x)=ax³-a²x，函数g(x)=，x∈[0，2]，
(1)设a≠0，求f(x)的单调区间；
(2)求g(x)的值域；
(3)设a＞0，若对任意x₁∈[0，2]，总存在x₀∈[0，2]，使g(x₁)-f(x₀)=0，求实数a的取值范围。

答案

解：(1)，
当a＞0时，增区间为和，减区间为；
当a＜0时，f′(x)＜0恒成立，f(x)在R上单调递减；
(2)，
当x=0时，g(x)=0；
当0＜x≤2时，，且g(x)＞0，
当且仅当x=1时上式取等号，即；
综上，g(x)的值域为。
(3)设函数f(x)在[0，2]上的值域是A，若对任意，总存在x₀∈[0，2]，使g(x₁)-f(x₀)=0，
∴，
由，得，
令f′(x)=0，得或(舍去)，
①当时，x，f′(x)，f(x)的变化如下表：

，
∴，解得；
②当时，f′(x)＜0，函数f(x)在[0，2]上单调递减，
，
∴当x∈[0，2]时，不满足；
综上可知，实数a的取值范围是。