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题目
题型:湖南省模拟题难度:来源:
已知f(x)=ax3-a2x,函数g(x)=,x∈[0,2],
(1)设a≠0,求f(x)的单调区间;
(2)求g(x)的值域;
(3)设a>0,若对任意x1∈[0,2],总存在x0∈[0,2],使g(x1)-f(x0)=0,求实数a的取值范围。
答案
解:(1)
当a>0时,增区间为,减区间为
当a<0时,f′(x)<0恒成立,f(x)在R上单调递减;
(2)
当x=0时,g(x)=0;
当0<x≤2时,,且g(x)>0,
当且仅当x=1时上式取等号,即
综上,g(x)的值域为
(3)设函数f(x)在[0,2]上的值域是A,若对任意,总存在x0∈[0,2],使g(x1)-f(x0)=0,

,得
令f′(x)=0,得(舍去),
①当时,x,f′(x),f(x)的变化如下表:


,解得
②当时,f′(x)<0,函数f(x)在[0,2]上单调递减,

∴当x∈[0,2]时,不满足
综上可知,实数a的取值范围是
核心考点
试题【已知f(x)=ax3-a2x,函数g(x)=,x∈[0,2],(1)设a≠0,求f(x)的单调区间;(2)求g(x)的值域;(3)设a>0,若对任意x1∈[0,】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
函数f(x)=+lnx(a≠0),
(1)求函数y=f(x)的递增区间;
(2)当a=1时,求函数y=f(x)在[,4]上的最大值和最小值;
(3)求证:
题型:陕西省模拟题难度:| 查看答案
已知f(x)=x3-2x2+cx+4,g(x)=ex-e2-x+f(x),
(1)若f(x)在x=1+处取得极值,试求c的值和f(x)的单调增区间;
(2)如图所示:若函数y=f(x)的图象在[a,b]连续光滑,试猜想拉格朗日中值定理:即一定存在c∈(a,b)使得f′(c)=,利用这条性质证明:函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4。
题型:0108 模拟题难度:| 查看答案
(1)函数 f(x)=ln(1+x)-,证明:当x>0时,f(x)>0;
(2)从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为p。证明:p<
题型:高考真题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=,g(x)=2alnx(e为自然对数的底数),
(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间,若F(x)有最值,请求出最值;
(2)是否存在正常数a,使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切线?若存在,求出a的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请说明理由.
题型:模拟题难度:| 查看答案
设函数f(x)=x2-1+cosx(a>0),
(1)当a=1时,证明:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求正数a的范围;
(3)在(1)的条件下,设数列{an}满足:0<a1<1,且an+1=f(an),求证:0<an+1<an<1。
题型:模拟题难度:| 查看答案
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