题目
题型:模拟题难度:来源:
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(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间,若F(x)有最值,请求出最值;
(2)是否存在正常数a,使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切线?若存在,求出a的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请说明理由.
答案
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①当a≤0时,F′(x)>0恒成立,F(x)在(0,+∞)上是增函数,F(x)只有一个单调递增区间(0,+∞),没有最值;
②当a>0时,
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若0<x<
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若x>
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∴当x=
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即
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所以当a>0时,F(x)的单调递减区间为
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(2)若f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,则方程f(x)-g(x)=0有且只有一解,
所以函数F(x)有且只有一个零点,
由(1)的结论可知F(x)min=-alna=0得a=1,
此时,F(x)=
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∴
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∴f(x)与g(x)的图象的唯一公共点坐标为
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又
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∴f(x)与g(x)的图象在点
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即
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综上所述,存在a=1,使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点
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且在该点处的公切线方程为
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核心考点
试题【已知函数f(x)=,g(x)=2alnx(e为自然对数的底数),(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间,若F(x)有最值,请求出最值;(2)是否存在正常】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(1)当a=1时,证明:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求正数a的范围;
(3)在(1)的条件下,设数列{an}满足:0<a1<1,且an+1=f(an),求证:0<an+1<an<1。
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(1)确定y=f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)设h(x)=x·f(x)-x-ax3在(0,2)上有极值,求a的取值范围。
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)设a<-1,如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围。
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