题目

题型：辽宁省高考真题难度：来源：

设函数f(x)=ax³+bx²-3a²x+1（a、b∈R）在x=x₁，x=x₂处取得极值，且|x₁-x₂|=2，
(Ⅰ)若a=1，求b的值，并求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若a＞0，求b的取值范围。

答案

解：，①
（Ⅰ）当a=1时，，
由题意知为方程的两根，
所以，
由，得b=0，
从而f(x)=x³-3x+1，，
当时，f′(x)＜0；当时，f′(x)＞0，
故f(x)在（-1，1）单调递减，在单调递增．
（Ⅱ）由①式及题意知为方程的两根，
所以，
从而，
由上式及题设知，
考虑，
故g（a）在单调递增，在单调递减，
从而g（a）在(0，1]的极大值为，
又g（a）在(0，1]上只有一个极值，
所以为g（a）在(0，1]上的最大值，且最小值为g（1）=0，
所以，即b的取值范围为。