题目

题型：专项题难度：来源：

定义在[-1，1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[-1，0]时，(a∈R)，
(Ⅰ)写出f(x)在[0，1]上的解析式；
(Ⅱ)求f(x)在[0，1]上的最大值；
(Ⅲ)若f(x)是[0，1]上的增函数，求实数a的取值范围。

答案

解：(Ⅰ)设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，
，
∴；
(Ⅱ)∵，
令t=2^x，t∈[1，2]，
∴，
当，即a≤2时，g(t)_max=g(1)=a-1；
当，即2＜a＜4时，；
当，即a≥4时，g(t)_max=g(2)=2a-4；
综上：当a≤2时，f(x)最大的值为a-1；当2＜a＜4时，f(x)最大值为；当a≥4时，f(x)最大值为2a-4。
(Ⅲ)因为函数f(x)在[0，1]上是增函数，
所以f′(x)=aln2·2^x-ln4·4^x=2^xln2(a-2·2^x)≥0恒成立，
∴a-2·2^x≥0恒成立，a≥2·2^x恒成立，
∵2^x∈[ 1，2]，
∴a≥4．