题目
题型:专项题难度:来源:
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(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)设函数g(x)=
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答案
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(1)若-1<a<0,则当0<x<-a时,f′(x)>0;当-a<x<1时,f′(x)<0;当x>1时,f′(x)>0,
故f(x)分别在(0,-a),(1,+∞)上单调递增,在(-a,1)上单调递减;
(2)若a<-1,仿(1)可得f(x)分别在(0,1),(-a,+∞)上单调递增,在(1,-a)上单调递减;
(Ⅱ)存在a,使g(x)在[a,-a]上为减函数;
事实上,设
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则
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再设
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则当g(x)在[a,-a]上单调递减时,h(x)必在[a,0]上单调递减,所以h′(a)≤0.
由于ex>0,因此m(a)≤0,而m(a)=a2(a+2),所以a≤-2.
此时,显然有g(x)在[a,-a]上为减函数,当且仅当f(x)在[1,-a]上为减函数,h(x)在[a,1]上为减函数,且h(1)≥e·f(1),
由(Ⅰ)知,当a≤-2时,f(x)在[1,-a]上为减函数,①
又h(1)≥e·f(1)
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不难知道,
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因m′(x)=-6x2+6(a-2)x+12a=-6(x+2)(x-a),
令m′(x)=0,则x=a,或x= -2,
而a≤-2,于是
(1)当a<-2时,若a<x<-2,则m′(x)>0;若-2<x<1,则m′(x)<0,
因而m(x)在(a,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减;
(2)当a=-2时,m′(x)≤0,m(x)在(-2,1)上单调递减;
综合(1),(2)知,当a≤-2时,m(x)在[a,1]上的最大值为m(-2)=-4a2-12a-8.
所以
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又对x∈[a,1],m(x)=0只有当a=-2时在x=-2取得,亦即h′(x)=0只有当a=-2时在x=-2取得.
因此,当a≤-2时,h(x)在[a,1]上为减函数,
从而由①,②,③知,-3≤a≤-2;
综上所述,存在a,使g(x)在[a,-a]上为减函数,且a的取值范围为[-3,-2].
核心考点
试题【已知函数f(x)=+x+(a-1)lnx+15a,其中a<0,且a≠-1,(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)设函数g(x)=(e是自然对数的底数),是否存在】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(Ⅰ)讨论a=-1时,f(x)的单调性、极值;
(Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下,|f(x)|>g(x)+
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(Ⅲ)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3?如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由。
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(1)当a=8时,求f(x)的单调区间;
(2)对任意正数a,证明:1<f(x)<2。
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(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)已知
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