题目

题型：重庆市高考真题难度：来源：

已知f（x）=x²+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）f（x），
（Ⅰ）求曲线y=g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若当x=-1时函数y=g（x）取得极值，确定y=g（x）的单调区间。

答案

解：（Ⅰ）为偶函数，
故，即有，
解得b=0，
又曲线y=f（x）过点（2，5），
得，有c=1，
∵，
从而，
曲线y=g（x）有斜率为0的切线，
故有g′（x）=0有实数解，
即有实数解，
此时有；
所以实数a的取值范围：；
（Ⅱ）因x=-1时函数y=g（x）取得极值，
故有g′（-1）=0，即3-2a+1=0，解得a=2，
又，
令g′（x）=0，得，
当x∈时，g′（x）＞0，故g（x）在上为增函数；
当x∈时，g′（x）＜0，故g（x）在上为减函数；
当x∈时，g′（x）＞0，故g（x）在上为增函数。