题目

题型：宁夏回族自治区月考题难度：来源：

已知函数f（x）=（a＞0）．
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．

答案

解：（1）由题意得，f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f"（x）=，
∴f"（1）=﹣2+a，
∵直线y=x+2的斜率为1，
∴﹣2+a=1，解得a=1，
所以f（x）=，
∴f"（x）=，
由f"（x）＞0解得x＞2；
由f"（x）＜0解得0＜x＜2．
∴f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）
（2）依题得g（x）=，则=．
由g"（x）＞0解得x＞1；
由g"（x）＜0解得0＜x＜1．
∴函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又∵函数g（x）在区间[，e]上有两个零点，
∴，解得1＜b≤，
∴b的取值范围是（1，]．