题目

题型：广东省模拟题难度：来源：

已知函数（a＞0，且a≠1），其中为常数．如果 是增函数，且存在零点（为的导函数）．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁<x₂）是函数y＝g（x）的图象上两点，（ 为的导函数），证明：

答案

解：（Ⅰ）因为，
所以．
因为h（x）在区间上是增函数，
所以在区间上恒成立．
若0<a<1，则lna<0，于是恒成立．
又存在正零点，
故△＝（－2lna）²－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1与lna<0矛盾．
所以a>1．
由恒成立，
又存在正零点，
故△＝（－2lna）²－4lna＝0，
所以lna＝1，即a＝e．
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ），，于是，
以下证明．      
上式等价于．
令r（x）＝xlnx₂－xlnx－x₂＋x
r ′（x）＝lnx₂－lnx，在（0，x₂］上，r′（x）>0，
所以r（x）在（0，x₂］上为增函数．
当x₁<x₂时，r（x₁）< r（x₂）＝0，即，
从而得到证明
对于，同理可证
所以．