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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1.
(I)求a=


2
时,讨论f(x)的单调性

(II)若x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围.
答案
(I)当a=


2
时,f(x)=x3+3


2
x2+3x+1,
f′(x)=3x2+6


2
x+3,令f′(x)=0,可得x=-


2
-1
,或x=-


2
+1

当x∈(-∞,-


2
-1
)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(-


2
-1
,-


2
+1
)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(-


2
+1
,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
(II)由f(2)≥0,可解得a≥-
5
4
,当a≥-
5
4
,x∈(2,+∞)时,
f′(x)=3(x2+2ax+1)≥3(x2-
5
2
x+1
)=3(x-
1
2
)(x-2)>0,
所以函数f(x)在(2,+∞)单调递增,于是当x∈[2,+∞)时,f(x)≥f(2)≥0,
综上可得,a的取值范围是[-
5
4
,+∞)
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1.(I)求a=2时,讨论f(x)的单调性;(II)若x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围.】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=





x2+2x+a,x<0
lnx,x>0
,其中a是实数,设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的点,且x1<x2
(I)指出函数f(x)的单调区间;
(II)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,求x2-x1的最小值;
(III)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.
题型:四川难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ex-ax-1(a为实数),g(x)=lnx-x.
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)求函数g(x)的极值;
(3)证明:
ln22
22
+
ln32
32
+…+
lnn2
n2
2n2-n-1
2(n+1)
(n∈N,n≥2).
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)= ,h(x)=
(Ⅰ)设函数F(x)=f(x)-h(x),求F(x)的单调区间与极值;
(Ⅱ)设a∈R,解关于x的方程㏒4[ ]=㏒2h(a-x)-㏒2h(4-x);
(Ⅲ)试比较f(100)h(100)- 的大小.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
ln(1+x)
x
.
(1)确定y=f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)设h(x)=x•f(x)-x-ax3在(0,2)上有极值,求a的取值范围.
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已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],g(x)=
lnx
x
,其中e是自然常数,a∈R.
(1)讨论a=1时,函数f(x)的单调性和极值;
(2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+
1
2

(3)是否存在实数a使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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