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题目
题型:四川难度:来源:
已知函数f(x)=





x2+2x+a,x<0
lnx,x>0
,其中a是实数,设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的点,且x1<x2
(I)指出函数f(x)的单调区间;
(II)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,求x2-x1的最小值;
(III)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.
答案
(I)当x<0时,f(x)=(x+1)2+a,
∴f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增;
当x>0时,f(x)=lnx,在(0,+∞)单调递增.
(II)∵x1<x2<0,∴f(x)=x2+2x+a,∴f(x)=2x+2,
∴函数f(x)在点A,B处的切线的斜率分别为f(x1),f(x2),
∵函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,
f(x1)•f(x2)=-1
∴(2x1+2)(2x2+2)=-1.
∴2x1+2<0,2x2+2>0,
x2-x1=
1
2
[-(2x1+2)+(2x2+2)]


[-(2x1+2)](2x2+2)
=1,当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1,即x1=-
3
2
x2=-
1
2
时等号成立.
∴函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,求x2-x1的最小值为1.
(III)当x1<x2<0或0<x1<x2时,∵f(x1)≠f(x2),故不成立,∴x1<0<x2
当x1<0时,函数f(x)在点A(x1,f(x1)),处的切线方程为
y-(
x21
+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1)
,即y=(2x1+2)x-
x21
+a

当x2>0时,函数f(x)在点B(x2,f(x2))处的切线方程为y-lnx2=
1
x2
(x-x2)
,即y=
1
x2
x+lnx2-1

函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合的充要条件是





1
x2
=2x1+2  ①
lnx2-1=-
x21
+a  ②

由①及x1<0<x2可得-1<x1<0,
由①②得a=
x21
+ln
1
2x1+2
-1
=
x21
-ln(2x1+2)-1

∵函数y=
x21
-1
,y=-ln(2x1+2)在区间(-1,0)上单调递减,
∴a(x1)=
x21
-ln(2x1+2)-1
在(-1,0)上单调递减,且x1→-1时,ln(2x1+2)→-∞,即-ln(2x1+2)→+∞,也即a(x1)→+∞.
x1→0,a(x1)→-1-ln2.
∴a的取值范围是(-1-ln2,+∞).
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2+2x+a,x<0lnx,x>0,其中a是实数,设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的点,且x1<x2.(I)指】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=ex-ax-1(a为实数),g(x)=lnx-x.
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)求函数g(x)的极值;
(3)证明:
ln22
22
+
ln32
32
+…+
lnn2
n2
2n2-n-1
2(n+1)
(n∈N,n≥2).
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)= ,h(x)=
(Ⅰ)设函数F(x)=f(x)-h(x),求F(x)的单调区间与极值;
(Ⅱ)设a∈R,解关于x的方程㏒4[ ]=㏒2h(a-x)-㏒2h(4-x);
(Ⅲ)试比较f(100)h(100)- 的大小.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
ln(1+x)
x
.
(1)确定y=f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)设h(x)=x•f(x)-x-ax3在(0,2)上有极值,求a的取值范围.
题型:安徽模拟难度:| 查看答案
已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],g(x)=
lnx
x
,其中e是自然常数,a∈R.
(1)讨论a=1时,函数f(x)的单调性和极值;
(2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+
1
2

(3)是否存在实数a使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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已知a>0,函数f(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数g(x)=
4x2-7
2-x
,是否存在实数a≥1,使得对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],满足f(x1)=g(x0)?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
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