当前位置:高中试题 > 数学试题 > 函数的单调性与导数 > 已知函数f(x)=lnx-12ax2(a∈R,a≠0).(I)求函数f(x)的单调区间;(II)已知点A(1,-12a),设B(x1,y1)(x1>1)是曲线C...
题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=lnx-
1
2
ax2(a∈R,a≠0)

(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)已知点A(1,-
1
2
a),设B(x1y1)(x1>1)是曲线C:y=f(x)
图角上的点,曲线C上是否存在点M(x0,y0)满足:①x0=
1+x1
2
;②曲线C在点M处的切线平行于直线AB?请说明理由.
答案
(I)f(x)的定义域是(0,+∞),
f′(x)=
1
x
-ax=
1-ax2
x

①当a<0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,
当a>0时,由f′(x)>0和x>0得0<x<


a
a

f(x)在(0,


a
a
)内单调递增,
由f′(x)<0和x>0得x>


a
a
,f(x)在(


a
a
,+∞)内单调递减,
综上所述:当a>0时,f(x)的单调增区间是(0,


a
a
),单调递减区间是(


a
a
,+∞);
(II)假设存在满足条件的点M,
∵A在曲线C上,∴KAB=
y1+
1
2
a
x1-1
=
lnx1-
1
2
ax21
+
1
2
a
x1-1

f′(x)=
1
x
-ax,
∴f′(x0)=f′(
x1+1
2
)=
2
x1+1
-a•
x1+1
2
,由已知KAB=f′(x0),
lnx1-
1
2
ax21
+
1
2
a
x1-a
=
2
x1+1
-a•
x1+1
2

化简整理可得lnx1=
2(x1-1)
x1+1
=2-
4
x1+1

即lnx1+
4
x1+1
>2
∴lnx1+
4
x1+1
>2
∴lnx1=2-
4
x1+1
不成立,即满足条件的点M是不存在的;
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx-12ax2(a∈R,a≠0).(I)求函数f(x)的单调区间;(II)已知点A(1,-12a),设B(x1,y1)(x1>1)是曲线C】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=lnx+
1-x
ax
,其中a为大于零的常数.
(1)当a=1时,求函数f(x)单调区间.
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=alnx+
2
a
x
(a≠0)

(1)已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l的斜率为2-3a,求实数a的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性;
(3)在(1)的条件下,求证:对于定义域内的任意一个x,都有f(x)≥3-x.
题型:朝阳区二模难度:| 查看答案
已知函数f(x)=alnx+
2a2
x
+x(a≠0).
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-2y=0垂直,求实数a的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)当a∈(-∞,0)时,记函数f(x)的最小值为g(a),求证:g(a)≤
1
2
e2
题型:朝阳区二模难度:| 查看答案
若函数f(x)=x4-ax3+x2-2有且仅有一个极值点,求实数a的取值范围______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知x=


2
是函数f(x)=





(x2-2ax)ex,x>0
bx,x<0
的极值点.
(Ⅰ)当b=1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当b∈R时,函数y=f(x)-m有两个零点,求实数m的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
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