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题目
题型:朝阳区二模难度:来源:
设函数f(x)=alnx+
2
a
x
(a≠0)

(1)已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l的斜率为2-3a,求实数a的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性;
(3)在(1)的条件下,求证:对于定义域内的任意一个x,都有f(x)≥3-x.
答案
(1)∵f(x)=alnx+
2
a
x
(a≠0)

∴f(x)的定义域为{x|x>0},
f(x)=
a
x
-
2a2
x2

∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l的斜率为2-3a,
∴f′(1)=a-2a2=2-3a,
解得a=1.
(2)f(x)=
a
x
-
2a2
x2
=
a(x-2a)
x2

①当a<0时,∵x>0,∴x-2a>0,a(x-2a)<0,
∴f′(x)<0,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当a>0时,若0<x<2a,则a(x-2a)<0,f′(x)<0,
函数f(x)在(0,2a)上单调递减;
若x>2a,则a(x-2a)>0,f′(x)>0,函数在(2a,+∞)上单调递增.
综上所述,当a<0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当a>0时,函数f(x)在(0,2a)上单调递减,在(2a,+∞)上单调递增.
(3)由(1)知,f(x)=lnx+
2
x

设g(x)=f(x)-(3-x),则g(x)=lnx+
2
x
+x-3,
g(x)=
1
x
-
2
x2
+1
=
x2+x-2
x2
=
(x-1)(x+2)
x2
,x>0
当x变化时,g′(x),g(x)的变化如下表:
核心考点
试题【设函数f(x)=alnx+2a2 x(a≠0).(1)已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l的斜率为2-3a,求实数a的值;(2)讨论函数f(x)的】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
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 x (0,1) 1(1,+∞) 
 g′(x)- 0+
 g(x) 极小值
已知函数f(x)=alnx+
2a2
x
+x(a≠0).
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-2y=0垂直,求实数a的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)当a∈(-∞,0)时,记函数f(x)的最小值为g(a),求证:g(a)≤
1
2
e2
若函数f(x)=x4-ax3+x2-2有且仅有一个极值点,求实数a的取值范围______.
已知x=


2
是函数f(x)=





(x2-2ax)ex,x>0
bx,x<0
的极值点.
(Ⅰ)当b=1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当b∈R时,函数y=f(x)-m有两个零点,求实数m的取值范围.
已知函数f(x)=ax2-lnx.(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)已知曲线y=f(x)与直线y=x相切,求a.
已知函数f(x)=x3-ax2+3x.
(Ⅰ)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最小值和最大值.
(Ⅱ)若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.