题目

题型：不详难度：来源：

已知x=

2

是函数f（x）=

(x2-2ax)ex，x＞0 bx，x＜0

的极值点．
（Ⅰ）当b=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当b∈R时，函数y=f（x）-m有两个零点，求实数m的取值范围．

答案

解（Ⅰ）x＞0时，f（x）=（x²-2ax ） e^x，
∴f′（x）=（x²-2ax ） e^x+（2x-2a）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x．
由已知得，f′（

2

）=0，解得a=1．∴f（x）=（x²-2x），f′（x）=（x²-2）e^x．
当 x∈（0，

2

）时，f′（x）＜0，当x∈（

2

，+∞）时，f′（x）＞0．   又f（0）=0，
当 b=1时，f（x）在（-∞，0），（

2

，+∞） 上单调递增，在（0，

2

）上单调递减．
（Ⅱ）由（1）知，当x∈（0，

2

）时，f（x）单调递减，f（x）∈（（2-2

2

）e

2

，0）．
当x∈（

2

，+∞）时，f（x）单调递增，f（x）∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）．
要使函数y=f（x）-m有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．
①当b＞0时，m=0或 m=（2-2

2

）e

2

．
②当b=0时，m∈（（2-2

2

）e

2

，0）．
③当b＜0时，m∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）．