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题目
题型:不详难度:来源:
已知x=


2
是函数f(x)=





(x2-2ax)ex,x>0
bx,x<0
的极值点.
(Ⅰ)当b=1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当b∈R时,函数y=f(x)-m有两个零点,求实数m的取值范围.
答案
解(Ⅰ)x>0时,f(x)=(x2-2ax ) ex
∴f′(x)=(x2-2ax ) ex+(2x-2a)ex=[x2+2(1-a)x-2a]ex
由已知得,f′(


2
)=0,解得a=1.∴f(x)=(x2-2x),f′(x)=(x2-2)ex
当 x∈(0,


2
)时,f′(x)<0,当x∈(


2
,+∞)时,f′(x)>0.   又f(0)=0,
当 b=1时,f(x)在(-∞,0),(


2
,+∞) 上单调递增,在(0,


2
)上单调递减.
(Ⅱ)由(1)知,当x∈(0,


2
)时,f(x)单调递减,f(x)∈((2-2


2
e


2
,0).
当x∈(


2
,+∞)时,f(x)单调递增,f(x)∈((2-2


2
e


2
,+∞).
要使函数y=f(x)-m有两个零点,则函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点.
①当b>0时,m=0或 m=(2-2


2
e


2

②当b=0时,m∈((2-2


2
e


2
,0).
③当b<0时,m∈((2-2


2
e


2
,+∞).
核心考点
试题【已知x=2是函数f(x)=(x2-2ax)ex,x>0bx,x<0的极值点.(Ⅰ)当b=1时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当b∈R时,函数y=f(x)-m有】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=ax2-lnx.(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)已知曲线y=f(x)与直线y=x相切,求a.
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已知函数f(x)=x3-ax2+3x.
(Ⅰ)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最小值和最大值.
(Ⅱ)若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=ax2+x-xlnx(a>0).
(Ⅰ)若函数满足f(1)=2,且在定义域内f(x)≥bx2+2x恒成立,求实数b的取值范围;
(Ⅱ)当
1
e
<x<y<1时,试比较
y
x
1+lny
1+lnx
的大小;
(Ⅲ)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围.
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求函数y=3x+
3
x
的单调区间.
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已知函数f(x)=x3-3ax,
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a=1时,求证:直线4x+y+m=0不可能是函数f(x)图象的切线.
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