题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x³-ax²+3x．
（Ⅰ）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．
（Ⅱ）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ） 由题意知f"（x）=3x²-2ax+3=0的一个根为x=3，可得a=5，…（3分）
所以f"（x）=3x²-10x+3=0的根为x=3或 x=

1

3

（舍去），
当1＜x＜3时，f"（x）＜0，当3＜x＜5时，f"（x）＞0，
f（x）在x∈[1，3]上单调递减，在x∈[3，5]上单调递增
又f（1）=-1，f（3）=-9，f（5）=15，
∴f（x）在x∈[1，5]上的最小值是f（3）=-9，最大值是f（5）=15．…（7分）
（Ⅱ）f"（x）=3x²-2ax+3，要f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，则有3x²-2ax+3≥0在x∈[1，+∞）内恒成立，
即a≤

3x

2

+

3

2x

在x∈[1，+∞）内恒成立
又

3x

2

+

3

2x

≥3（当且仅当x=1时取等号），所以a≤3…（13分）