题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=lnx+

1-x

ax

，其中a为大于零的常数．
（1）当a=1时，求函数f（x）单调区间．
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

答案

∵函数f(x)=lnx+

1-x

ax

，
∴f′（x）=

ax-1

ax2

（x＞0）…（2分）
（1）当a=1时，f′（x）=

x-1

x2

，
当x＞1时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0；　　　…（4分）
∴f（x）的单调增区间为[1，+∞），单调减区间为（0，1）．　　　…（6分）
（2）当a≥1时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在[1，2]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…（8分）
当0＜a＜

1

2

时，f′（x）≤0恒成立，f（x）在[1，2]上单调递减，
∴f（x）_min=f（2）=ln2-

1

2a

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …（10分）
当

1

2

＜a＜1时，由f′（x）＞0得

1

a

＜x≤2，由f′（x）＜0得1≤x＜

1

a

．
∴f（x）在[1，

1

a

]上单调递减，在[

1

a

，2]上单调递增．
∴f（x）_min=f（

1

a

）=ln

1

a

+1-

1

a

．                                             …（14分）