题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=ax3+bx2在x=-1时取得极值,曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为12;函数g(x)=f(x)+mx,x∈[1,+∞),函数g(x)的导函数g"(x)的最小值为0.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求实数m的值;
(Ⅲ) 求证:g(x)≥-7.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求实数m的值;
(Ⅲ) 求证:g(x)≥-7.
答案
(Ⅰ)∵f(x)=ax3+bx2,
∴f"(x)=3ax2+2bx.
由题意有
,
解得
.
∴函数f(x)的解析式为f(x)=2x3+3x2.
(Ⅱ)g(x)=f(x)+mx=2x3+3x2+mx,x∈[1,+∞),
g′(x)=6x2+6x+m=6(x+
)2-
+m在[1,+∞)单调递增
∴[g"(x)]min=g"(1)=12+m=0,
∴m=-12.
(Ⅲ)g(x)=2x3+3x2-12x,x∈[1,+∞),
由(Ⅱ)知,当x=1时,g"(x)=0,
当x>1时,g"(x)>0,∴g(x)在[1,+∞)上是增函数.
∴g(x)≥g(1)=2+3-12=-7.
∴f"(x)=3ax2+2bx.
由题意有
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解得
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∴函数f(x)的解析式为f(x)=2x3+3x2.
(Ⅱ)g(x)=f(x)+mx=2x3+3x2+mx,x∈[1,+∞),
g′(x)=6x2+6x+m=6(x+
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∴[g"(x)]min=g"(1)=12+m=0,
∴m=-12.
(Ⅲ)g(x)=2x3+3x2-12x,x∈[1,+∞),
由(Ⅱ)知,当x=1时,g"(x)=0,
当x>1时,g"(x)>0,∴g(x)在[1,+∞)上是增函数.
∴g(x)≥g(1)=2+3-12=-7.
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax3+bx2在x=-1时取得极值,曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为12;函数g(x)=f(x)+mx,x∈[1,+∞),函数g(x)】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=x3-ax+b在区间在x=2处取得极值-8
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
(3)当x∈[-3,3]时,求y=f(x)的最值域.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
(3)当x∈[-3,3]时,求y=f(x)的最值域.
若函数f(x)的导函数为f′(x)=x2-4x+3,则函数f(x-1)的单调递减区间是( )
A.(2,4) | B.(0,2) | C.(2,3) | D.(0,1) |
已知函数f(x)=ln(x+2)-x2+bx+c.在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直,且f(-1)=0,求函数f(x)在区间[0,3]上的最小值.
某产品生产x单位产品时的总成本函数为C(x)=300+
x3-5x2+170x.每单位产品的价格是134元,求使利润最大时的产量.
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定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M,都有f(x)≥M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的下界.已知函数f(x)=(x2-3x+3)•ex,其定义域为[-2,t](t>-2),设f(-2)=m,f(t)=n.
(1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调递增函数;
(2)试判断m,n的大小,并说明理由;并判断函数f(x)在定义域上是否为有界函数,请说明理由;
(3)求证:对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t)满足
=
(t-1)2,并确定这样的x0的个数.
(1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调递增函数;
(2)试判断m,n的大小,并说明理由;并判断函数f(x)在定义域上是否为有界函数,请说明理由;
(3)求证:对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t)满足
f′(x0) |
ex0 |
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