题目
题型:不详难度:来源:
(I)当a=
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(Ⅱ)当x≥1时,f(x)≥0,求a的取值范围.
答案
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函数f(x)的定义域为(0,+∞).
设g(x)=x-lnx-1,则g′(x)=1-
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x |
令g′(x)=0,得x=1.
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,函数g(x)是减函数;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)是增函数.
函数g(x)的最小值为g(1)=0.
所以g(x)=f′(x)≥0(仅当x=1时取等号),f(x)在(0,+∞)是增函数.
(Ⅱ)由函数f(x)=a(x2-1)-xlnx,则f′(x)=2ax-lnx-1.
(1)若a≥
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此时f(x)≥f(1)=0,不等式恒成立.
(2)若0<a<
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x |
当x∈(1,
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2a |
则f′(x)=h(x)<h(1)=2a-1<0,f(x)在(1,
1 |
2a |
这时f(x)<f(1)=0,不等式不成立.
(3)若a≤0时,则当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)是减函数,
此时f(x)<f(1)=0,不等式不成立.
综上所述,a的取值范围是[
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核心考点
试题【已知函数f(x)=a(x2-1)-xlnx.(I)当a=12时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x≥1时,f(x)≥0,求a的取值范围.】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.[0,1] | B.[3,5] | C.[2,3] | D.[2,4] |
3 |
2 |
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)<x恒成立,求K的取值范围.
(1)求常数a,b,c的值;
(2)若函数g(x)=x2+mf(x)(m∈R)在区间(1,3)内不是单调函数,求实数m的取值范围;
(3)求函数h(x)=f(x)-1的单调递减区间,并证明:
ln2 |
2 |
ln3 |
3 |
ln4 |
4 |
ln2012 |
2012 |
1 |
2012 |
b |
x |
(Ⅰ)若函数f(x)在x=1,x=
1 |
2 |
(Ⅱ)若f′(1)=2,函数f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求a的取值范围.
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