题目

题型：绵阳一模难度：来源：

已知函数f（x）=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-

1

2

．
（I）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；
（II）设g（x）=

x2+2kx+k

x

，对∀x₁∈（0，+∞），∃x₂∈（-∞，0）使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求正实数k的取值范围；
（III）证明：

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

（n∈N^*，n≥2）•

答案

（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．
由已知得：f′（x）=

1

x

-a，f′（2）=

1

2

-a=-

1

2

，解得a=1．
于是f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f （x）为增函数，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数，
即f （x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．  
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∀x₁∈（0，+∞），f （x₁）≤f （1）=0，即f （x₁）的最大值为0，
由题意知：对∀x₁∈（0，+∞），∃x₂∈（-∞，0）使得f （x₁）≤g（x₂）成立，
只须f （x）_max≤g（x）_max．
∵g（x）=

x2+2kx+k

x

=x+

k

x

+2k=-（-x+

k

-x

）+2k≤-2

k

+2k，∴只须-2

k

+2k≥0，解得k≥1．
故k的取值范围[1，+∞）．
（Ⅲ）要证明：

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

（n∈N^*，n≥2）•
只须证

2ln2

22

+

2ln3

32

+…+

2lnn

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

，
即证

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

，
由（Ⅰ）知，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数，
∴f （x）=lnx-x+1≤f（1）=0，即lnx≤x-1，
∴当n≥2时，lnn²＜n²-1，

lnn2

n2

＜

n2-1

n2

=1-

1

n2

＜1-

1

n(n+1)

=1-

1

n

+

1

n+1

，

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜（1-

1

2

+

1

2+1

）+（1-

1

3

+

1

3+1

）+…+（1-

1

n

+

1

n+1

）
=n-1-

1

2

+

1

n+1

=

2n2-n-1

2(n+1)

，
∴

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

．