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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=ax+lnx
(1)试讨论f(x)的极值
(2)设g(x)=x2-2x+2,若对∀x1∈(0,+∞),∃x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求实数a的取值范围.
答案
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=a+
1
x
=
ax+1
x

当a≥0时f"(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数,此时函数不存在极值.
当a<0时,由f"(x)>0,解得0<x<-
1
a
,此时函数递增.由f"(x)<0,解得x>-
1
a
此时函数递减.此时函数在x=-
1
a
处取得极小值.无极大值.
综上所述:当a≥0时,函数不存在极值.
当a<0时,函数在x=-
1
a
处取得极小值.无极大值.
(2)对∀x1∈(0,+∞),∃x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),恒成立
由(1)知当a≥0时,f(x1)在(0,+∞)上为增函数,f(x1)无最大值;
当a<0时,f(x1)max⁡=f(-
1
a
)=-1+ln⁡(-
1
a
)=-1-ln⁡(-a)

又g(x2)=x22-2x2+2在x2∈[0,1]上单调递减,所以g(x2max⁡=g(0)=2.
所以





a<0
-1-ln(-a)<2
,解得a<-e-3
所以,实数a的取值范围是(-∞,-e-3).
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax+lnx(1)试讨论f(x)的极值(2)设g(x)=x2-2x+2,若对∀x1∈(0,+∞),∃x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知f(x)=ax-x3(x∈R)在区间(0, 


2
2
]
内是增函数.
(Ⅰ) 求a的取值范围;
(Ⅱ) 若f(x)的极小值为-2,求a的值.
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已知函数f(x)=ln(2x-1)+ax2-3x在x=1处取得极值.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:∀x∈(1,3],m∈(0,+∞),f(x)<


m
+
1


m
-4
题型:不详难度:| 查看答案
函数f(x)=
sinx
x
,则(  )
A.f(x)在(0,π)内是减函数B.f(x)在(0,π)内是增函数
C.f(x)在(-
π
2
π
2
)内是减函数
D.f(x)在(-
π
2
π
2
)内是增函数
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定义:对于区间I内可导的函数y=f(x),若∃x0∈I,使f(x0)=f′(x0)=0,则称x0为函数y=f(x)的新驻点.已知函数f(x)=ax-x.
(Ⅰ)若函数y=f(x)存在新驻点,求新驻点x0,并求此时a的值;
(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,问:m在什么范围取值时,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2[
m
2
+f′(x)]
在区间(t,3)上总存在极值?
(Ⅲ)当a=2时,设函数h(x)=(p-2)x-
p+2e
x
-3
,若在区间[1,e]上至少存在一个x0,使得h(x0)>f(x0)成立,试求实数p的取值范围.
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