当前位置:高中试题 > 数学试题 > 函数的单调性与导数 > 已知函数f(x)=ln(2x-1)+ax2-3x在x=1处取得极值.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:∀x∈(1,3],m∈(0,+∞),f(x)<m...
题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=ln(2x-1)+ax2-3x在x=1处取得极值.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:∀x∈(1,3],m∈(0,+∞),f(x)<


m
+
1


m
-4
答案
(1)f′(x)=
2
2x-1
+2ax-3,由f′(1)=0,得a=
1
2
.(4分)
∴f(x)=ln(2x-1)+
1
2
x2-3x,(x>
1
2
)
,f/(x)=
2
2x-1
+x-3=
2x2-7x+5
2x-1
=
(x-1)(2x-5)
2x-1

有图可知函数f(x)单调区间为
增区间为:(
1
2
,1),(
5
2
,+∞)
,减区间为:(1,
5
2
)
(8分)

(2)由f(x)在(
1
2
,1),(
5
2
,3)
递增,在(1,
5
2
)
递减.在x=1时取得极大值-
5
2

又f(3)=ln5-f(3)=ln5-f(3)=ln5-
9
2
,-
5
2
>ln5-
9
2

所以在∀x∈(1,3],f(x)<-
5
2

又m∈(0,+∞),


m
+
1


m
-4≥2-4=-2,(当m=1时取等号)


m
+
1


m
-4的最小值为-2,-2>-
5
2

∴∀x∈(1,3],f(x)<


m
+
1


m
-4恒成立.
核心考点
试题【已知函数f(x)=ln(2x-1)+ax2-3x在x=1处取得极值.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:∀x∈(1,3],m∈(0,+∞),f(x)<m】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
函数f(x)=
sinx
x
,则(  )
A.f(x)在(0,π)内是减函数B.f(x)在(0,π)内是增函数
C.f(x)在(-
π
2
π
2
)内是减函数
D.f(x)在(-
π
2
π
2
)内是增函数
题型:不详难度:| 查看答案
定义:对于区间I内可导的函数y=f(x),若∃x0∈I,使f(x0)=f′(x0)=0,则称x0为函数y=f(x)的新驻点.已知函数f(x)=ax-x.
(Ⅰ)若函数y=f(x)存在新驻点,求新驻点x0,并求此时a的值;
(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,问:m在什么范围取值时,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2[
m
2
+f′(x)]
在区间(t,3)上总存在极值?
(Ⅲ)当a=2时,设函数h(x)=(p-2)x-
p+2e
x
-3
,若在区间[1,e]上至少存在一个x0,使得h(x0)>f(x0)成立,试求实数p的取值范围.
题型:赣州模拟难度:| 查看答案
函数y=x3-ax+4在(1,+∞)上为增函数,则a的取值范围是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ax3+bx在x=3时取得极值-54
(Ⅰ)求a,b的值
(Ⅱ)求曲线y=f(x)与x轴围成图形的面积.
题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.