题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x ,其图像记为曲线C.
(i) 求函数f(x)的单调区间;
(ii) 证明:若对于任意非零实数x1 ,曲线C与其在点P1(x1,f(x1)))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2)),曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,f(x3)),线段P1 P2, P2 P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则
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(Ⅱ)对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a
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答案
解法一:
(Ⅰ)(i)有f(x)=x3-x得f’(x)=3x2-1=3(x-
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当x
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当x
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(ⅱ)曲线C在点P1处的切线方程为
y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1,
即y=(3x12-1)x-2 x13.
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得x3-x=(3x12-1)x-2 x13
即(x-x1)2(x+2x1)=0,
解得 x=x1或x=-2x1,
故x2=-2x1.
进而有
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用x2代替x1,重复上述计算过程,可得x3= -2x2和S2=
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又x2=-2x1
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(Ⅱ)记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a
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与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则
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证明如下:
因为平移变换不改变面积的大小,故可将曲线y=g(x)的对称中心
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解法二:
(Ⅰ)同解法一。
(Ⅱ)记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a
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与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则
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证明如下:
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用x2代替x1,重复上述计算过程,可得x3=
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又x2=
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所以
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故
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解析
核心考点
举一反三
设函数
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(1)当
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(2)若
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(1) 若
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(2) 若当
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(I)讨论函数
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(II)设
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已知
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(Ⅰ)求
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(Ⅱ)设
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的某种排列
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及相应的
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设函数
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(1)当
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(2)若
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