题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若是函数的一个极值点,求的值;
(Ⅱ)求证:当时,在上是增函数;
(Ⅲ)若对任意的(1,2),总存在,使不等式成立,求实数的取范围.
答案
(Ⅰ)满足条件;(Ⅱ)在上是增函数;(Ⅲ)实数的取值范围为.
解析
(1)因为
由已知,得即, 得到a的值,
(2)当时,
当时,.又,故在上是增函数
(3)当时,由(Ⅱ)知,在上的最大值为
于是问题等价于:对任意的,不等式恒成立.
利用构造函数得到结论。
解:……………1分
(Ⅰ)由已知,得即,……3分
经检验,满足条件.……………………………………4分
(Ⅱ)当时,…………5分
当时,.又,故在上是增函数
(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)知,在上的最大值为
于是问题等价于:对任意的,不等式恒成立.
记
则…………………………9分
当时,有,且在区间(1,2)上递减,且,则不可能使恒成立,故必有…………11分
当,且
若,可知在区间上递减,在此区间上有,与恒成立矛盾,故,这时,即在(1,2)上递增,恒有满足题设要求.
,即,所以,实数的取值范围为.……………………14分
核心考点
试题【(本小题满分14分)已知函数(为常数,).(Ⅰ)若是函数的一个极值点,求的值;(Ⅱ)求证:当时,在上是增函数;(Ⅲ)若对任意的(1,2),总存在,使不等式成立,】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
⑴当时,判断函数在定义域上的单调性;
⑵求函数的极值点;
⑶证明对任意的正整数,不等式成立。
(Ⅰ)当时,证明在是增函数;
(Ⅱ)若,,求的取值范围.
(1)若函数依次在处取到极值.
①求的取值范围;
②若,求的值.
(2)若存在实数,使对任意的,不等式 恒成立.求正整数 的最大值
①f(x)>0的解集是{x|0<x<2};
②f(-)是极小值,f()是极大值;
③f(x)没有最小值,也没有最大值.
A.①③ | B.①② | C.② | D.①②③ |
A.( -1 ,0 ) | B.( -1 ,+) | C.(0 ,+ ) | D.(1 ,+ ) |
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