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题目
题型:不详难度:来源:
已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.
(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)证明对一切x∈(0,+∞),都有lnx>成立.
答案
(1)f(x)min(2)a≤4(3)见解析
解析
(1)解:f′(x)=lnx+1,当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
①当0<t<t+2<时,t无解;②当0<t<<t+2,即0<t<时,f(x)min=f=-
③当≤t<t+2,即t≥时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt,
所以f(x)min.
(2)解:由题意,要使2xlnx≥-x2+ax-3在x∈(0,+∞)恒成立,即要使a≤2lnx+x+恒成立.
设h(x)=2lnx+x+(x>0),则h′(x)=+1-.
当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增.
所以x=1时,h(x)取得极小值,也就是最小值,
即[h(x)]min=h(1)=4,所以a≤4.
(3)证明:问题等价于证明xlnx>,x∈(0,+∞).
由(1)知,f(x)=xlnx在(0,+∞)上最小值是-
当且仅当x=时取得.设m(x)=,x∈(0,+∞),则m′(x)=
易得[m(x)]max=m(1)=-
当且仅当x=1时取得,
从而对一切x∈(0,+∞),都有lnx>成立
核心考点
试题【已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
,其中
(1)当时,求函数在区间上的最大值;
(2)当时,若恒成立,求的取值范围.
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已知函数(其中为常数且)在处取得极值.
(I) 当时,求的单调区间;
(II) 若上的最大值为,求的值.
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已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f"(n)的最小值为( )
A.-13B.-15C.10D.15

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函数的单调递减区间是____________________.
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已知函数
(1)当时,求的单调区间;
(2)若的最大值为,求的值.
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