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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数,若上的最小值记为.
(1)求
(2)证明:当时,恒有.
答案
(1);(2)详见解析.
解析

试题分析:(1)因为,对实数分类讨论,①,②,分别用导数法求函数单调区间,从而确定的值,再用分段函数表示;(2)构造函数,对实数分类讨论,①,②,分别用导数法求函数单调区间,从而确定的最大值,即可证明当时恒有成立.
(1)因为
①当时,
,则,故上是减函数;
,则,故上是增函数;
所以,.
②当,则,故上是减函数,
所以
综上所述,.
(2)令
①当时,
,所以上是增函数,所以上的最大值是,且,所以
.
,则,所以上是减函数,
所以上的最大值是
,则
所以上是增函数,所以

②当时,,所以,得
此时上是减函数,因此上的最大值是

综上所述,当时恒有.
核心考点
试题【已知函数,若在上的最小值记为.(1)求;(2)证明:当时,恒有.】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
设函数,其中.
(1)求函数的定义域(用区间表示);
(2)讨论函数上的单调性;
(3)若,求上满足条件的集合(用区间表示).
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(本小题满分12分)
已知函数.
(1)当时,求的极值;
(2)若在区间上单调递增,求b的取值范围.
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(本小题满分13分)
设函数为常数,是自然对数的底数).
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数内存在两个极值点,求的取值范围.
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已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是
A.B.C.D.

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函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.
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