题目
题型:不详难度:来源:
(1)当时,求函数y=f(x)的极值;
(2)是否存在实数b∈(0,1),使得当x∈(-1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b)?若存在,求实数a的取值范围,若不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)将代入函数f(x)解析式,求出函数f(x)的导函数,令导函数等于零,求出其根;然后列出x的取值范围与的符号及f(x)的单调性情况表,从表就可得到函数f(x)的极值;(2)由题意首先求得:,故应按分类讨论:当a≤0时,易知函数f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,从而当b∈(0,1)时f(b)<f(0),所以不存在实数b∈(0,1),符合题意;当a>0时,令有x=0或,又要按根大于零,小于零和等于零分类讨论;对各种情况求函数f(x)x∈(-1,b]的最大值,使其最大值恰为f(b),分别求得a的取值范围,然而将所得范围求并即得所求的范围;若求得的a的取值范围为空则不存在,否则存在.
试题解析:(1)当时,,
则,化简得(x>-1) 2分
列表如下:
x | (-1,0) | 0 | (0,1) | 1 | (1,+) |
+ | 0 | - | 0 | + | |
f(x) | 增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
∴函数f(x)在(-1,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,且f(0)=0,, 4分
∴函数y=f(x)在x=1处取到极小值为,
在x=0处取到极大值为0; 5分
(2)由题意
(1)当a≤0时,函数f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,
此时,不存在实数b∈(0,1),使得当x∈(-1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b); 7分
(2)当a>0时,令有x=0或,
(ⅰ)当即时,函数f(x)在和(0,+∞)上单调递增,在上单调递减,要存在实数b∈(0,1),使得当x∈(-1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b),则,代入化简得 (1)
令,因恒成立,
故恒有,∴时,(1)式恒成立; 10分
(ⅱ)当即时,函数f(x)在和上单调递增,在上单调递减,此时由题,只需,解得,又,
∴此时实数a的取值范围是; 12分
(ⅲ)当时,函数f(x)在上单调递增,
显然符合题意; 13分
综上,实数a的取值范围是. 14分
核心考点
试题【已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2-x,a∈R.(1)当时,求函数y=f(x)的极值;(2)是否存在实数b∈(0,1),使得当x∈(-1,b]时,函数f(】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,讨论的单调性.
A. | B. | C. | D. |
(1)求函数的解析式;
(2)证明函数在上是增函数;
(3)解不等式:.
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