题目

题型：不详难度：来源：

已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论的单调性.

答案

（1）；（2）详见解析.

解析

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数求函数的单调性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，先将代入得到表达式，对求导，将切点的横坐标2代入中得到切线的斜率k，再将切点的横坐标2代入到中，得到切点的纵坐标，最后利用点斜式写出切线方程；第二问，讨论的单调性即讨论的正负，即讨论导数表达式分子的正负，所以构造函数，通过分析题意，将分成、、、多种情况，分类讨论，判断的正负，从而得到的单调性.
试题解析：（1）当时，
       6分
（2）因为，
所以 ，
令        8分
（i）当a=0时，
所以当时g(x)>0, 此时函数单调递减，
x∈（1，∞）时，g(x)<0,此时函数f^,(x)单调递增。
（ii）当时，由，解得：        10分
①若,函数f(x)在上单调递减，        11分
②若，在单调递减，在上单调递增.
③ 当a<0时，由于1/a-1<0,
x∈(0,1)时，g(x)>0,此时,函数f(x)单调递减；
x∈（1，∞）时，g(x)<0 ,,此时函数单调递增。
综上所述：
当a≤ 0 时，函数f(x)在（0,1）上单调递减;
函数f(x)在 (1, +∞) 上单调递增
当时,函数f(x)在(0, + ∞)上单调递减
当时，函数f(x)在上单调递减；
函数 f(x)在上单调递增；   14分