在数1和2之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记为An,令an=log2An,n∈N. (1)求数列{An}的前n项和Sn; (2)求Tn=tana2•tana4+tana4•tana6+…+tana2n•tana2n+2. |
(1)根据题意,n+2个数构成递增的等比数列, 设为b1,b2,b3,…,bn+2,其中b1=1,bn+2=2, 可得An=b1•b2•…•bn+1•bn+2,…①;An=bn+2•bn+1•…•b2•b1,…② 由等比数列的性质,得b1•bn+2=b2•bn+1=b3•bn=…=bn+2•b1=2, ∴①×②,得=(b1bn+2)•(b2bn+1)•…•(bn+1b2)•(bn+2b1)=2n+2. ∵An>0,∴An=2. 因此,可得==(常数), ∴数列{An}是首项为A1=2,公比为的等比数列. ∴数列{An}的前n项和Sn==(4+2)[()n-1]. (2)由(1)得an=log2An=log22=, ∵tan1=tan[(n+1)-1]=tan(n+1)-tann | 1+tan(n+1)tann | , ∴tan(n+1)tann=-1,n∈N*. 从而tana2n•tana2n+2=tan(n+1)tan(n+2)=-1,n∈N* ∴ | Tn=tana2•tana4+tana4•tana6+…+tana2n•tana2n+2 |
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| =tan2•tan3+tan3•tan4+…+tan(n+1)tan(n+2) |
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即Tn=tana2•tana4+tana4•tana6+…+tana2n•tana2n+2. |
核心考点
试题【在数1和2之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记为An,令an=log2An,n∈N.(1)求数列{An}的前n项和Sn;】;主要考察你对
等比数列等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn+1}是公比为2的等比数列,a2是a1和a3的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前n项和Tn. |
已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5若存在两项am、an使得=4a1,则+的最小值为______. |
若将20,50,100都分别加上同一个常数,所得三个数依原顺序成等比数列,则此等比数列的公比是 ______. |
设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则的值为( ) |
在和8之间插入3个数,使它们与这两个数依次构成等比数列,则这3个数的积为______. |