题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n(n，S_n)都在函数f(x)＝x²＋2x的图象上，且在点P_n(n，S_n)处的切线的斜率为k_n.
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)若b_n＝2k_na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n.

答案

（1）a_n＝2n＋1（2）T_n＝·4^n＋2－

解析

(1)∵点P_n(n，S_n)在函数f(x)＝x²＋2x的图象上，
∴S_n＝n²＋2n(n∈N^*)，当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2n＋1，当n＝1时，a₁＝S₁＝3满足上式，所以数列{a_n}的通项公式为a_n＝2n＋1.
(2)由f(x)＝x²＋2x，求导得f′(x)＝2x＋2.
∵在点P_n(n，S_n)处的切线的斜率为k_n，
∴k_n＝2n＋2，∴b_n＝2k_na_n＝4·(2n＋1)·4ⁿ，
∴T_n＝4×3×4＋4×5×4²＋4×7×4³＋…＋4×(2n＋1)×4ⁿ，用错位相减法可求得T_n＝·4^n＋2－.