题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{b_n}是首项为1，公比为q(q＞1)的等比数列．
(1)若a₅＝b₅，q＝3，求数列{a_n·b_n}的前n项和；
(2)若存在正整数k(k≥2)，使得a_k＝b_k.试比较a_n与b_n的大小，并说明理由．．

答案

（1）S_n＝（2）当1＜n＜k时，a_n＜b_n；当n＞k时，a_n＞b_n；当n＝1，k时，a_n＝b_n.

解析

审题引导：①等差数列与等比数列对应项的积错位相减求和；②作差比较．
规范解答：解：(1)依题意，a₅＝b₅＝b₁q^5－1＝1×3⁴＝81，故d＝＝20，
所以a_n＝1＋20(n－1)＝20n－19.(3分)
令S_n＝1×1＋21×3＋41×3²＋…＋(20n－19)·3^n－1，①
则3S_n＝1×3＋21×3²＋…＋(20n－39)·3^n－1＋(20n－19)·3ⁿ，②
①－②，得－2S_n＝1＋20×(3＋3²＋…＋3^n－1)－(20n－19)·3ⁿ＝1＋20×－(20n－19)·3ⁿ＝(29－20n)·3ⁿ－29，所以S_n＝.(7分)
(2)因为a_k＝b_k，所以1＋(k－1)d＝q^k－1，即d＝，
故a_n＝1＋(n－1).又b_n＝q^n－1，(9分)所以b_n－a_n＝q^n－1－
＝[(k－1)(q^n－1－1)－(n－1)(q^k－1－1)]
＝[(k－1)(q^n－2＋q^n－3＋…＋q＋1)－(n－1)(q^k－2＋q^k－3＋…＋q＋1)]．(11分)
(ⅰ)当1＜n＜k时，由q＞1知
b_n－a_n＝[(k－n)(q^n－2＋q^n－3＋…＋q＋1)－(n－1)(q^k－2＋q^k－3＋…＋q^n－1)]
＜[(k－n)(n－1)q^n－2－(n－1)(k－n)q^n－1]＝－
＜0；(13分)
(ⅱ)当n＞k时，由q＞1知
b_n－a_n＝[(k－1)(q^n－2＋q^n－3＋…＋q^k－1)－(n－k)(q^k－2＋q^k－3＋…＋q＋1)]
＞[(k－1)(n－k)q^k－1－(n－k)(k－1)q^k－2]
＝(q－1)²q^k－2(n－k)
＞0，(15分)
综上所述，当1＜n＜k时，a_n＜b_n；当n＞k时，a_n＞b_n；当n＝1，k时，a_n＝b_n.(16分)
(注：仅给出“1＜n＜k时，a_n＜b_n；n＞k时，a_n＞b_n”得2分)
错因分析：错位相减时项数容易搞错，作差比较后学生不能灵活倒用等比数列求和公式1－qⁿ＝(1－q)(1＋q＋q²＋…＋q^n－1)