题目

题型：不详难度：来源：

已知各项均为正数的等比数列{a_n}的公比为q，且0＜q＜.
(1)在数列{a_n}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；
(2)若a₁＝1，且对任意正整数k，a_k－(a_k＋1＋a_k＋2)仍是该数列中的某一项．
(ⅰ)求公比q；
(ⅱ)若b_n＝－loga_n＋1(＋1)，S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n，T_r＝S₁＋S₂＋…＋S_n，试用S₂₀₁₁表示T₂₀₁₁.

答案

（1）不可能（2）(ⅰ)q＝－1(ⅱ)T₂₀₁₁＝2012S₂₀₁₁－2011

解析

(1)由条件知a_n＝a₁q^n－1，0＜q＜，a₁＞0，所以数列{a_n}是递减数列．若有a_k，a_m，a_n(k＜m＜n)成等差数列，则中项不可能是a_k(最大)，也不可能是a_n(最小)，
若2a_m＝a_k＋a_n2q^m－k＝1＋q^n－k，(*)
由2q^m－k≤2q＜1，1＋q^h－k＞1，知(*)式不成立，
故a_k，a_m，a_n不可能成等差数列．
(2)(ⅰ)(解法1)a_k－a_k＋1－a_k＋2＝a₁q^k－1(1－q－q²)＝a₁q^k－1，
由∈，知a_k－a_k＋1－a_k＋2＜a_k＜a_k－1＜…，
且a_k－a_k＋1－a_k＋2＞a_k＋2＞a_k＋3＞…，
所以a_k－a_k＋1－a_k＋2＝a_k＋1，即q²＋2q－1＝0，
所以q＝－1.
(解法2)设a_k－a_k＋1－a_k＋2＝a_m，则1－q－q²＝q^m－k，
由1－q－q²∈知m－k＝1，即m＝k＋1，
以下同解法1.
(ⅱ)b_n＝，
(解法1)S_n＝1＋＋＋…＋，
T_n＝1＋＋＋…＋
＝n＋＝n－
＝nS_n－[(1－)＋(1－)＋(1－)＋…＋(1－)]
＝nS_n－＝nS_n－
＝nS_n－n＋S_n＝(n＋1)S_n－n，所以T₂₀₁₁＝2012S₂₀₁₁－2011.
(解法2)S_n＋1＝1＋＝S_n＋，所以(n＋1)S_n＋1－(n＋1)S_n＝1，
所以(n＋1)S_n＋1－nS_n＝S_n＋1，2S₂－S₁＝S₁＋1，3S₃－2S₂＝S₂＋1，……
(n＋1)S_n＋1－nS_n＝S_n＋1，累加得(n＋1)S_n＋1－S₁＝T_n＋n，
所以T_n＝(n＋1)S_n＋1－1－n＝(n＋1)S_n－n＝(n＋1)(S_n＋b_n)－1－n
＝(n＋1)－1－n＝(n＋1)S_n－n，
所以T₂₀₁₁＝2012S₂₀₁₁－2011