题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f(x)=2sin2(

π

4

+x)-acos2x-1(x∈R，a为常数)，已知x=

5π

12

时f（x）取到最大值2．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=

π

6

对称，求满足x∈（0，π）且f（x）-2g（x）=3的所有x的值．

答案

（Ⅰ）∵f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x-1=1-cos(

π

2

+2x)-acos2x-1
=sin2x-acos2x=

1+a2

sin(2x-ϕ)，其中，cosϕ=

1

1+a2

，sinϕ=

a

1+a2

f(x)最大值为f(

5π

12

)=2，所以

1+a2

=2，∴a=±

3

，ϕ=2kπ+

π

3

∴sinϕ=

a

1+a2

＞0，∴a=

3

（Ⅱ）∵g(x)=f(

π

3

-x)=2sin[2(

π

3

-x)-

π

3

]=-2sin(2x-

π

3

)
∴f(x)-2g(x)=6sin(2x-

π

3

)，∴sin(2x-

π

3

)=

1

2

∴2x-

π

3

=

π

6

+2kπ或

5π

6

+2kπ，即x=

π

4

+kπ或

7π

12

+kπ，k∈Z
∵x∈(0，π)，∴x=

π

4

或

7π

12

．