题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，cosB=

3

4

．
（Ⅰ）求

1

tanA

+

1

tanC

的值；
（Ⅱ）设

BA

•

BC

=

3

2

，求a+c的值．

答案

（Ⅰ）由cosB=

3

4

，得sinB=

1-( 3 4 )2

=

7

4

，
由b²=ac及正弦定理得sin²B=sinAsinC．
于是

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+cosCsinA

sinAsinC

=

sin(A+C)

sin2B

=

sinB

sin2B

=

1

sinB

=

4

7

7

．（6分）
（Ⅱ）由

BA

•

BC

=

3

2

得ca•cosB=

3

2

，由cosB=

3

4

，可得ca=2，即b2=2．
由余弦定理：b²=a²+c²-2ac•cosB，又b²=ac=2，cosB=

3

4

，
得a²+c²=b²+2ac•cosB=2+4×

3

4

=5，
则（a+c）²=a²+c²+2ac=5+4=9，解得：a+c=3．（12分）