题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

建造一个容积为8m³深为2m的长方体形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m²和80元/m²
（1）求总造价关于一边长的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）判断（1）中函数在（0，2]和[2，+∞）上的单调性并用定义法加以证明；
（3）如何设计水池尺寸，才能使总造价最低．

答案

（1）设总造价为y元，一边长为xm，则y=4×120+2(

4

x

×2+x×2)×80，
即：y=(

4

x

+x)×320+480定义域为（0，+∞）；
（2）函数y=(

4

x

+x)×320+480在（0，2]上为减函数，在[2，+∞）上为增函数；
用定义证明如下：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
则y₁-y₂=(

4

x1

+x1)×320+480-(

4

x2

+x2)×320-480
=320(

4

x1

-

4

x2

+x1-x2)
=320

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
①当0＜x₁＜x₂≤2时，x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，即x₁x₂-4＜0；
∴y₁-y₂＞0，即y₁＞y₂；
∴该函数在（0，2]上单调递减；
②当2≤x₁＜x₂时，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，即x₁x₂-4＞0；
∴y₁-y₂＜0，即y₁＜y₂，
∴该函数在[2，+∞）上单调递增；
（3）由（2）知当x=2时，函数有最小值y_min=f（2）=1760（元）
即：当水池的长与宽都为2m时，总造价最低，为1760元．